以下の問題を数理モデルに定式化し,LINDOなどを利用して最適な解を求めよ.
文教薬品では来月薬品A〜薬品Fの6種類の薬品を製造し出荷する.薬品工場の製造部長はどの機械でどの薬品をどのくらい製造するか指示を出さなくてはならない.各機械はどの薬品でも製造することが可能で, 1つの薬品をいくつかの機械に分割して製造することも可能である.
不況の折りから製造コストを押さえて利益を最大にするような生産体制を取るように強く本社から命じられている.(決定に関連すると思われるデータは以下の表1にまとめてある.)
さて,各機械にどのように生産するように指示を出せば良いのか.製造部長に最善案を提案してください.
表1:文教薬品の薬品製造に関するデータ(社外秘)
薬品1kg当たりの生産時間 (時間/Kg) |
薬品1kg当たりの生産費用 (万円/kg) |
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来月の生産量(Kg) | 機械 1 |
機械 2 |
機械 3 |
機械 4 |
機械 5 |
機械 1 |
機械 2 |
機械 3 |
機械 4 |
機械 5 |
卸値 (万円/kg) |
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薬品A | 50 | 0.5 | 0.75 | 0.9 | 0.8 | 0.6 | 200 | 250 | 275 | 245 | 230 | 500 |
薬品B | 100 | 0.75 | 1.125 | 1.35 | 1.2 | 0.9 | 325 | 350 | 375 | 350 | 285 | 1000 |
薬品C | 150 | 0.4 | 0.6 | 0.72 | 0.64 | 0.48 | 185 | 200 | 225 | 200 | 175 | 800 |
薬品D | 200 | 0.3 | 0.45 | 0.54 | 0.48 | 0.36 | 210 | 230 | 250 | 225 | 200 | 650 |
薬品E | 125 | 1.25 | 1.875 | 2.25 | 2 | 1.5 | 520 | 600 | 750 | 800 | 700 | 1400 |
薬品F | 75 | 0.6 | 0.9 | 1.08 | 0.96 | 0.72 | 910 | 950 | 1120 | 1000 | 980 | 2000 |
来月の各機械の 稼動可能時間(時間) |
120 | 140 | 120 | 110 | 150 |
文教石油ではA,B,C 3種類の燃料を販売している.
使用できるガソリンの上限は一級ガソリンが200kl/week, 二級ガソリンが300kl/week, 三級ガソリンが400kl/weekで,A,B,Cの販売利益はそれぞれ一リットル当たり70円, 90円,120円である.
(1)週当たりのA,B,Cの最適生産量を求めるためにこの問題を定式化せよ.
(2)最適解を算出し,最適生産計画を提案せよ.
(3)もし一級ガソリンおよび三級ガソリンがもっと手に入るとしたら,最適生産はどのように変化するか.簡潔に解説せよ.
(4)A,B,C3種類の燃料を生産しても,総利益が減らないようにするには,Bの利益をどれほどにすれば良いか.ただし,燃料A,Cの一リットル当たりの利益は変えないとする.
(5)燃料Cの品質を上げて1級ガソリン70%,2級ガソリン30%にしたい.価格をどのように設定すれば適切なのか提案せよ.
文教製紙では幅540cm,長さ50mの紙ロールを生産している.
これを用いて幅150cm,長さ50mの紙ロールを10本,幅120cm,長さ50mの紙ロールを20本,幅70cm,長さ50mの紙ロールを30本作りたい.
最小限必要な紙ロールの数は何本くらいか?
注意:
(演習2・3の出展:大鹿譲,一森哲男著「オペレーションズ・リサーチ モデル化と最適化」,p91-93 練習問題を一部改題,(共立出版,1993))
文教石油では下表2の4種類の原油を混合してできるだけ原料費が安く, しかも重量に対する硫黄分の割合が1%以下の重油を10000kl(キロリットル)生産したい. 最適な各原油の混合計画を提案せよ.
表2:各原油に関連するデータ
原油A | 原油B | 原油C | 原油D | |
比重(=重量/体積)(t/kl) | 0.85 | 0.9 | 0.95 | 0.92 |
重量に対する硫黄分の割合(%) | 0.4 | 0.2 | 4 | 2.5 |
使用可能限度量(kl) | 10000 | 2000 | 15000 | 10000 |
仕入れ価格(円/kl) | 15000 | 10000 | 7000 | 8000 |
湘南ドリンコでは口当たりのよい水を混ぜない「天然素材湘南ジュース」を製造販売し人気商品になっている.
湘南ジュースはある果汁から作られる.人気の口当たりを作り出すポイントは,原料となる果汁に含まれるある成分Xの割合にある(具体的な成分名は極秘事項で公開できない) . 果汁の重量に対し成分Xの重量の割合が45%になるものを原料として使用する点がポイントなのだ.ただ,45%のプラスマイナス5%以内,つまり果汁重量に対する成分Xの重量の割合が40%以上50%以下の果汁を用いれば熟練の職人の腕により満足できる湘南ジュースを生産可能である.
さて,湘南ドリンコでは湘南ジュースがなかなかの人気なので増産に踏み切ることにした.増産計画では1日2500リットルの果汁液の確保が必要となる. ところが, この原料の確保で困った事態が起きた.
実は, 湘南ドリンコでは今までは社長の知り合いの果樹農家の文教さんに果汁を1日500リットル生産してくれるように頼み原料としていたが, 増産となると原料が足りなくなる.
そこで近県で果汁の大規模生産格安販売をしている業者A及び業者Bからもさら購入しようと思ったが,1日に必要な2500リットルをどのように購入したらよいか決め兼ねている. ただし,文教さんからは今までの縁もあるので価格に関係なく毎日500リットルは今後も購入し続ける契約を既に結んでいるので業者Aや業者Bから購入する果汁は1日2000リットルでよい. 各果汁のデータは以下の表の通りである.
表:各果汁に関するデータ
1リットル当たりの重さ | 1kg当たりの成分Xの重さ | 1リットル当たりの価格 | 1日の購入可能量 | 備考 | |
業者A | 1.5kg | 20% | 150円 | 事実上無制限 | |
業者B | 1.6kg | 50% | 180円 | 事実上無制限 | |
文教さん | 1.5kg | 40% | 200円 | 500リットル | 契約上必ず500リットル買う |
原料費削減を考えると業者Aの果汁が安いので業者Aから購入すればよいが,業者Aの果汁は成分Xの含有量が少ないのでそのままでは使用できない. そこで,成分Xを多く含む業者Bの果汁や文教さんから購入している果汁を混ぜて使用すれば原料として使用できるのではないかと考えている.しかし,各業者から何リットルずつ買えば原料費を安く押さえた上に混合後の果汁重量に対する成分Xの重量の割合が40%以上50%以下にできるかがわからない.
(1) | この湘南ドリンコの果汁購入計画の問題を適切な変数を用いて数理計画問題に定式化せよ. |
(2) | LINDOを利用して最適解を求めたい.LINDOへの入力が可能な形式に問題を変形しなさい. |
(3) |
LINDOを用いて最適解を導出し,最適な生産の計画を提案しなさい. |
(1998年度後期期末試験問題2より)
作成: | 根本 俊男(文教大学情報学部経営情報学科) |
e-mail: nemoto@shonan.bunkyo.ac.jp | |
URL: http://www.bunkyo.ac.jp/~nemoto/lecture/or/ | |
作成日: | 1998年11月25日;改訂1999年11月29日 |