オペレーションズ・リサーチ

数理モデルへの定式化 演習 III

以下の問題を数理モデルに定式化し，ＬＩＮＤＯなどを利用して最適な解を求めよ.

注意：

1. （決定）変数に何を取るか, 目的関数,制約条件は何か良く考えること.
2. ＬＩＮＤＯに定式化した問題を入力する時は，変数の名前をわかりやすいように工夫した方が良い. 問題にある数値がそのままモデルの中の係数（数字）になるとは限らない.数値データの単位の統一に気を付けよう．

演習1

文教薬品では来月薬品A〜薬品Fの6種類の薬品を製造し出荷する.薬品工場の製造部長はどの機械でどの薬品をどのくらい製造するか指示を出さなくてはならない．各機械はどの薬品でも製造することが可能で, 1つの薬品をいくつかの機械に分割して製造することも可能である.

不況の折りから製造コストを押さえて利益を最大にするような生産体制を取るように強く本社から命じられている.(決定に関連すると思われるデータは以下の表1にまとめてある．)

さて，各機械にどのように生産するように指示を出せば良いのか.製造部長に最善案を提案してください.

表1：文教薬品の薬品製造に関するデータ(社外秘)

演習2

文教石油ではA,B,C 3種類の燃料を販売している.

• Aは一級ガソリン20％,二級ガソリン20％，三級ガソリン60％を含む．
• Bは一級ガソリン30％,二級ガソリン20％，三級ガソリン50％を含む．
• Cは一級ガソリン50％,二級ガソリン50％を含む．

使用できるガソリンの上限は一級ガソリンが200kl/week, 二級ガソリンが300kl/week, 三級ガソリンが400kl/weekで，A,B,Cの販売利益はそれぞれ一リットル当たり70円, 90円，120円である．

(1)週当たりのA,B,Cの最適生産量を求めるためにこの問題を定式化せよ.

(2)最適解を算出し，最適生産計画を提案せよ.

(3)もし一級ガソリンおよび三級ガソリンがもっと手に入るとしたら，最適生産はどのように変化するか．簡潔に解説せよ.

(4)A,B,C3種類の燃料を生産しても，総利益が減らないようにするには，Bの利益をどれほどにすれば良いか.ただし，燃料A,Cの一リットル当たりの利益は変えないとする.

(5)燃料Cの品質を上げて1級ガソリン70%，2級ガソリン30%にしたい．価格をどのように設定すれば適切なのか提案せよ.

演習3

文教製紙では幅540ｃｍ，長さ50ｍの紙ロールを生産している．

これを用いて幅150ｃｍ，長さ50ｍの紙ロールを10本，幅120ｃｍ，長さ50ｍの紙ロールを20本，幅70ｃｍ，長さ50ｍの紙ロールを30本作りたい.

最小限必要な紙ロールの数は何本くらいか?

注意：

• この問題において解答は整数値であることが求められている．このように，整数値での解答を要求される数理計画問題を特に「整数計画問題(Integer Programming)」と呼ぶ．整数計画問題は一般的に解を求めることは難しいことが多いが，定式化する手間は線形計画法と同じである．
• 紙ロールの断ち方が何通りあるかを考えよ.
• LINDOを用いて整数計画法を解く場合は，ENDの後に整数値で解を出したい変数（例えば変数x1）に関して「gin x1」(general integer の略）と記述してやればよい． （ちなみに，「integer x1」と書くと0-1変数として扱われる.）

（演習2・3の出展：大鹿譲，一森哲男著「オペレーションズ・リサーチ モデル化と最適化」，p91-93 練習問題を一部改題,(共立出版,1993))

演習4

文教石油では下表2の4種類の原油を混合してできるだけ原料費が安く, しかも重量に対する硫黄分の割合が1%以下の重油を10000kl(キロリットル)生産したい. 最適な各原油の混合計画を提案せよ.

表2：各原油に関連するデータ