オペレーションズ・リサーチ

数理モデルへの定式化 演習 III

以下の問題を数理モデルに定式化し，ＬＩＮＤＯなどを利用して最適な解を求めよ.

注意：

1. （決定）変数に何を取るか, 目的関数,制約条件は何か良く考えること.
2. ＬＩＮＤＯに定式化した問題を入力する時は，変数の名前をわかりやすいように工夫した方が良い. 問題にある数値がそのままモデルの中の係数（数字）になるとは限らない.数値データの単位の統一に気を付けよう．

演習1

文教薬品では来月薬品A〜薬品Fの6種類の薬品を製造し出荷する.薬品工場の製造部長はどの機械でどの薬品をどのくらい製造するか指示を出さなくてはならない．各機械はどの薬品でも製造することが可能で, 1つの薬品をいくつかの機械に分割して製造することも可能である.

不況の折りから製造コストを押さえて利益を最大にするような生産体制を取るように強く本社から命じられている.(決定に関連すると思われるデータは以下の表1にまとめてある．)

さて，各機械にどのように生産するように指示を出せば良いのか.製造部長に最善案を提案してください.

表1：文教薬品の薬品製造に関するデータ(社外秘)

演習2

文教石油ではA,B,C 3種類の燃料を販売している.

• Aは一級ガソリン20％,二級ガソリン20％，三級ガソリン60％を含む．
• Bは一級ガソリン30％,二級ガソリン20％，三級ガソリン50％を含む．
• Cは一級ガソリン50％,二級ガソリン50％を含む．

使用できるガソリンの上限は一級ガソリンが200kl/week, 二級ガソリンが300kl/week, 三級ガソリンが400kl/weekで，A,B,Cの販売利益はそれぞれ一リットル当たり70円, 90円，120円である．

(1)週当たりのA,B,Cの最適生産量を求めるためにこの問題を定式化せよ.

(2)最適解を算出し，最適生産計画を提案せよ.

(3)もし一級ガソリンおよび三級ガソリンがもっと手に入るとしたら，最適生産はどのように変化するか．簡潔に解説せよ.

(4)A,B,C3種類の燃料を生産しても，総利益が減らないようにするには，Bの利益をどれほどにすれば良いか.ただし，燃料A,Cの一リットル当たりの利益は変えないとする.

(5)燃料Cの品質を上げて1級ガソリン70%，2級ガソリン30%にしたい．価格をどのように設定すれば適切なのか提案せよ.

演習3

文教製紙では幅540ｃｍ，長さ50ｍの紙ロールを生産している．

これを用いて幅150ｃｍ，長さ50ｍの紙ロールを10本，幅120ｃｍ，長さ50ｍの紙ロールを20本，幅70ｃｍ，長さ50ｍの紙ロールを30本作りたい.

最小限必要な紙ロールの数は何本くらいか?

注意：

• この問題において解答は整数値であることが求められている．このように，整数値での解答を要求される数理計画問題を特に「整数計画問題(Integer Programming)」と呼ぶ．整数計画問題は一般的に解を求めることは難しいことが多いが，定式化する手間は線形計画法と同じである．
• 紙ロールの断ち方が何通りあるかを考えよ.
• LINDOを用いて整数計画法を解く場合は，ENDの後に整数値で解を出したい変数（例えば変数x1）に関して「gin x1」と記述してやればよい．(ginとはgeneral integer(一般的な整数の略)，単にintegerと書くと{0,1}変数に限定されるので注意）

（演習2・3の出展：大鹿譲，一森哲男著「オペレーションズ・リサーチ モデル化と最適化」，p91-93 練習問題を一部改題,(共立出版,1993))

演習4

文教石油では下表2の4種類の原油を混合してできるだけ原料費が安く, しかも重量に対する硫黄分の割合が1%以下の重油を10000kl(キロリットル)生産したい. 最適な各原油の混合計画を提案せよ.

表2：各原油に関連するデータ

演習5

湘南ドリンコでは口当たりのよい水を混ぜない「天然素材湘南ジュース」を製造販売し人気商品になっている.

湘南ジュースはある果汁から作られる．人気の口当たりを作り出すポイントは，原料となる果汁に含まれるある成分Xの割合にある（具体的な成分名は極秘事項で公開できない) . 果汁の重量に対し成分Xの重量の割合が45%になるものを原料として使用する点がポイントなのだ．ただ，45%のプラスマイナス5%以内，つまり果汁重量に対する成分Xの重量の割合が40%以上50%以下の果汁を用いれば熟練の職人の腕により満足できる湘南ジュースを生産可能である.

さて，湘南ドリンコでは湘南ジュースがなかなかの人気なので増産に踏み切ることにした．増産計画では1日2500リットルの果汁液の確保が必要となる. ところが, この原料の確保で困った事態が起きた.

実は, 湘南ドリンコでは今までは社長の知り合いの果樹農家の文教さんに果汁を1日500リットル生産してくれるように頼み原料としていたが, 増産となると原料が足りなくなる.

そこで近県で果汁の大規模生産格安販売をしている業者A及び業者Bからもさら購入しようと思ったが，1日に必要な2500リットルをどのように購入したらよいか決め兼ねている. ただし，文教さんからは今までの縁もあるので価格に関係なく毎日500リットルは今後も購入し続ける契約を既に結んでいるので業者Aや業者Bから購入する果汁は1日2000リットルでよい. 各果汁のデータは以下の表の通りである.

表：各果汁に関するデータ

原料費削減を考えると業者Aの果汁が安いので業者Aから購入すればよいが，業者Aの果汁は成分Xの含有量が少ないのでそのままでは使用できない. そこで，成分Xを多く含む業者Bの果汁や文教さんから購入している果汁を混ぜて使用すれば原料として使用できるのではないかと考えている．しかし，各業者から何リットルずつ買えば原料費を安く押さえた上に混合後の果汁重量に対する成分Xの重量の割合が40%以上50%以下にできるかがわからない.

(1998年度後期期末試験問題2より)